[2017년 대진고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)= {cases{3ax&```(x<1)#a ^{2} x ^{3} +2&```(x GEQ 1)}}]이 [eqn: x=1]에서 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: f`'(1)=3]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

③

ㄱ. [eqn: lim_h->0 {f(1+2h)-f(1)}overh =6]이다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf n left{f left(1+ 2overn right)-f left(1- 2overn right) right}=12]이다.

ㄷ. [eqn: lim_h->0 {f(1+4h) - f(1-2h)}over3h =4]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=x^2 -3x +3]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [1,```2]]에서 롤의 정리를 만족시키는 실수를 [eqn: a]라 하고, 함수 [eqn: g(x)=x^2 -6x]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [2,```5]]에서 평균값 정리를 만족시키는 실수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n ^{5}} (1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4} )+ lim _{x -> 1} {} {1} over {x-1} int _{1} ^{x} {} (t ^{2} +1)dt]의
값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 7over5]	② [eqn: 8over5]	③ [eqn: 9over5]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 11over5]

다음 중 정적분의 값이 가장 큰 것은? [4.3점]

②

① [eqn: int_-1^2 (3x^2 +1)dx]

② [eqn: int_-1^1 (x^2 +4)dx -2 int_-1^1 (x^2 -x-2)dx]

③ [eqn: int_-1^1 (2x+1)dx +int_1^2 (2x+1)dx]

④ [eqn: int_0^3 6 `|x-1 |`dx]

⑤ [eqn: int_-2^2 x(x+1)^2 dx]

그림은 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프이다.
[eqn: f(0)=0]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=k]가 서로 다른 두 개의 음의 근과
한 개의 양의 근을 가질 때, 정수 [eqn: k]의 최솟값은? [4.3점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f_n (x) = int left( sum_k=1^n kx^k-1 right) dx]에 대하여 [eqn: f_n (0)=1]일 때,
[eqn: {f`'_10 (1)}over{f_10 (1)}]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [4.3점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 45over11]	③ [eqn: 9over2]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11over2]

모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는
[eqn: f(x+y) =f(x)+f(y)], [eqn: g(x+y)=g(x) -g(y)]
를 만족한다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0<a<b]이다.) [4.4점]

⑤

해설 : [eqn: f(x)=kx], [eqn: g(x)=0]이다.

ㄱ. [eqn: int_-a^b f(x) dx - int_a^b f(x)dx =0]이다.

ㄴ. [eqn: int_-b^b f(x)g(x) dx =2int_0^b f(x)g(x)dx]이다.

ㄷ. [eqn: int_-a^-b f(x) dx = int_a^b f(x)dx]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: rmP(1,```1)]을 지나고, 점 [eqn: rmP]에서의 접선에 수직인 직선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: p over q]라 할 때, [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 77]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 79]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 81]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각
[eqn: t(0 le t le 7)]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같다.
옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

⑤

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=7]까지 방향을 두 번
바꾼다.

ㄴ. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=7]까지 위치의 변화량
은 [eqn: 4]이다.

ㄷ. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=7]까지 움직인 거리는
[eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=ax^3 +bx +3]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선이 직선 [eqn: y=2x+1]과 평행하고 점 [eqn: (0,```-3)]을 지난다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: -10]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=ax^3 +ax^2 +(8-a)x +1]이 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 합은? (단, [eqn: a!=0]) [4.5점]

②

① [eqn: 15]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 45]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]라 할 때, [eqn: f(t)=t^4 -4t^3], [eqn: g(t)=pt^2]이다. [eqn: t>0]에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 가속도가 같게 되는 순간이 [eqn: 2]번 있을 때, 정수 [eqn: p]의 개수는? [4.5점]

⑤

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같고, 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(x)= int_1^x+2 f(t)dt]가 성립할 때, [eqn: g(x)]의 극댓값과 극솟값의 합이 [eqn: - p over q]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소이다.) [4.5점]

②

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: int_9^10 f(x)dx]의 값은? [4.6점]

⑤

(가) [eqn: int_0^1 f(x)dx =1]

(나) [eqn: int_n^n+2 f(x) dx = int _n^n+1 2x`dx] (단, [eqn: n=0,```1,```2,```cdots])

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

연속함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +bx+c&```(|x|<3)#3x&```(|x| GEQ 3)}}]가 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수이고 [eqn: a !=0]이다.) [4.6점]

①

ㄱ. [eqn: a>0]이면 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: -9]이다.

ㄴ. [eqn: a<0]이면 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 9]보다 작다.

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)]에서 극대인 점의 [eqn: x]좌표와 극소인
점의 [eqn: x]좌표의 곱은 음수이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

방정식 [eqn: x^3 +6x^2 +9x-a=0]에 대하여 실수 [eqn: a]의 값의 범위에 따라 서로 다른 실근의 개수를 구하는 과정과 답을 서술하시오. (증감표 또는 함수의 그래프의 개형을 명시해야 함.) [10.0점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=0], [eqn: f(6)=6], [eqn: f`'(6)=0]이고 함수 [eqn: g(x)]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(x)]의 극댓값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. (증감표 또는
[eqn: g`'(x)] 함수의 그래프의 개형을 명시해야 함.) [10.0점]

[eqn: 81][eqn: {cases{-4<a<0이면```3개#a=-4```또는```a=0이면```2개#a< -4```또는```a>0이면```1개}}]

(가) [eqn: g`'(x) = f(x) +xf`'(x)]

(나) [eqn: g(x)]는 극솟값이 [eqn: 0]이다.

정적분의 정의에 의하여 [eqn: int_0^3 x^2 dx]의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오. (정적분의 정의를 명시해야 함.)

[eqn: 9]

[2017년 대진고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com